ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53732
Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Признаки подобия ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC на высоте AD взята точка M, а на высоте BP – точка N так, что углы BMC и ANC – прямые. Расстояние между точками M и N равно  4 + 2,  угол MCN равен 30°. Найдите биссектрису CL треугольника CMN.


Подсказка

Поскольку MD и NP – высоты прямоугольных треугольников BMC и ANC, проведённые из вершин прямых углов, то   CM² = BC·CD = AC·CP = CN².


Решение

  Из подобия прямоугольных треугольников ACD и BCP следует, что  CD : AC = CP : BC,  откуда  BC·CD = CP·AC.
  Поскольку MD и NP – высоты прямоугольных треугольников BMC и ANC, проведённые из вершин прямых углов, то  CM² = BC·CD = AC·CP = CN²,  поэтому  CM = CN.
  Биссектриса CL равнобедренного треугольника CMN является его высотой и медианой, следовательно,
CL = ML ctg∠MCL = ½ MN ctg 15° = = (2 + )² = 7 + 4.


Ответ

7 + 4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1466

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .