Задача 53733

Темы:    [ Вписанные четырехугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Биссектриса делит дугу пополам ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка D, а на отрезке BD – точка K так, что  AD : DC = ∠AKD : ∠DKC = 2 : 1.
Докажите, что  ∠AKD = ∠B.

Решение

  Обозначим  ∠DKC = α,  тогда  ∠AKD = 2α.  Поскольку  S_AKD = 2S_DKC,  то  AK·KD sin 2α = 2CK·KD sin α,  откуда  AK = ^CK/_{cos α}.
  Через точку C проведём прямую, перпендикулярную прямой KC, до пересечения с продолжением BD в точке P. Тогда  KP = ^CK/_{cos α} = AK,  то есть треугольник AKP равнобедренный.
  Пусть KM – высота этого треугольника. Тогда  ∠MKP = α.  Из равенства прямоугольных треугольников KMP и KCP (по гипотенузе и острому углу) следует, что  ∠APB = ∠CPB.
  Биссектриса PD треугольника APC пересекает описанную окружность этого треугольника в середине B' дуги AC, не содержащей точку P. Через B' проходит также серединный перпендикуляр к отрезку AC, значит, B' совпадает с B, то есть четырёхугольник ABCP вписанный. Следовательно,
∠B = 180° – ∠APC = 180° – 2(90° – α) = 2α = ∠AKD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1467