Задача 53739

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки подобия ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Каждая из боковых сторон AB и CD трапеции ABCD разделена на пять равных частей. Пусть M и N – вторые точки деления на боковых сторонах, считая от вершин B и C соответственно. Найдите MN, если основания  AD = a  и  BC = b.

Подсказка

Проведите диагональ трапеции.

Решение

  Проведём через точку M прямую, параллельную основаниям. Пусть N₁ – точка её пересечения с CD. Из теоремы Фалеса следует, что  CN₁ = ²/₅ CD = CN.  Поэтому точка N₁ совпадает с N. Следовательно,  MN || AD.

  Первый способ. Проведём диагональ AC и обозначим через K точку её пересечения с MN (рис. слева). Из подобия треугольников AMK и ABC находим, что
MK = ³/₅ b,  а из подобия треугольников CKN и CAD –  KN = ²/₅ a.  Следовательно,  MN = MK + KN = ¹/₅ (2a + 3b).

  Второй способ. Предположим, что  a > b.  Через вершину C проведём прямую, параллельную боковой стороне AB (рис. справа). Пусть P – точка её пересечения с основанием AD, а Q – с отрезком MN. Из подобия треугольников CQN и CPD находим, что  QN = ²/₅ PD = ²/₅ (a – b).  Значит,
MN = b + ²/₅ (a – b) = ¹/₅ (2a + 3b).
  Аналогично для  a < b.

Ответ

¹/₅ (2a + 3b).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1503