Задача 53747

Темы:    [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Диагональ AC трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что  AC² = ab,  где a и b – основания трапеции.

Подсказка

Определите, какие стороны подобных треугольников соответствуют друг другу.

Решение

Пусть  AD = a,  BC = b.  Поскольку  ∠BCA = ∠CAD,  то сторона AB соответствует стороне CD. значит, сторона BC соответствует стороне AC (иначе ABCD – параллелограмм), а треугольник ABC подобен треугольнику DCA. Поэтому  BC : AC = AC : AD.  Следовательно,  AC² = BC·AD = ab.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1511