Задача 53749

Темы:    [ Замечательное свойство трапеции ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9 Название задачи: Замечательное свойство трапеции.

Условие

Докажите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.

Подсказка

Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения продолжений боковых сторон (или точку пересечения диагоналей) и середину одного из оснований, проходит через середину другого основания.

Решение

  При гомотетии с центром в точке O пересечения диагоналей AC и BD, переводящей вершину B трапеции ABCD в вершину D, точка C переходит в точку A, основание BC – в основание DA, середина M основания BC – в середину N основания DA. Следовательно, прямая MN проходит через центр гомотетии, то есть через точку O.
  Аналогично доказывается, что прямая MN проходит через точку пересечения прямых AB и DC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1513
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	1
Название	Гомотетичные многоугольники
Тема	Гомотетичные многоугольники
задача
Номер	19.002