Задача 53778

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что  AO·BO = CO·DO  тогда и только тогда, когда  BC || AD.

Подсказка

Примените признаки подобия треугольников.

Решение

  Если  BC || AD,  то треугольники BOC и DOA подобны по двум углам. Поэтому  BO : OD = CO : OA.  Следовательно,  AO·BO = CO·DO.

  Обратно, если  AO·BO = CO·DO,  то  BO : OD = CO : OA  и треугольники BOC и DOA подобны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому
∠BCO = ∠DAO.  Следовательно, BC || AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1542