Задача 53779

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точки M и K лежат на сторонах соответственно AB и BC треугольника ABC, отрезки AK и CM пересекаются в точке P. Известно, что каждый из отрезков AK и CM делится точкой P в отношении  2 : 1,  считая от вершины. Докажите, что AK и CM – медианы треугольника.

Подсказка

Примените признаки подобия треугольников.

Решение

Поскольку  AP : PK = CP : PM  и  ∠APC = ∠KPM,  то треугольник APC подобен треугольнику KPM с коэффициентом 2. Поэтому  MK = ½ AC  и
∠MKA = ∠CAK.  Значит,  MK || AC  и треугольник MBK подобен треугольнику ABC с коэффициентом ½, то есть M и K – середины сторон AB и BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1543