ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53782
Темы:    [ Замечательное свойство трапеции ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.


Решение

Пусть AD и BC – основания трапеции ABCD, Q – точка пересечения диагоналей.

Первый способ. Пусть P – точка пересечения боковых сторон AB и DC. По замечательному свойству трапеции прямая QP проходит через середину M основания AD. Поскольку точка Q равноудалена от сторон AP и DP угла APD, то PM – биссектриса треугольника APD. Следовательно, этот треугольник равнобедренный,  AP = PD.  Поэтому и трапеция ABCD равнобедренная.

Второй способ. Из равенства площадей треугольников ACD и ABD следует равенство площадей треугольников DQC и AQB. Поскольку высоты этих треугольников, проведённые из вершины Q, равны, то равны и стороны AB и CD, то есть трапеция ABCD равнобедренная.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1546

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .