Задача 53794

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике KLM, все стороны которого различны, биссектриса угла KLM пересекает сторону KM в точке N. Через точку N проведена прямая, пересекающая сторону LM в точке A, для которой  MN = AM.  Известно, что  LN = a,  KL + KN = b.  Найдите AL.

Решение

  Отложим на продолжении отрезка LK за точку K отрезок  KB = KN.  Тогда  LB = b  и треугольники BKN и AMN – равнобедренные.
  Обозначим углы треугольника KLM через 2α, 2β и 2γ соответственно. Тогда  ∠KLN = ∠NLM = β,  ∠KBN = ∠KNB = α,
∠LNA = ∠KNA – ∠KNL = 90° + γ – (β + 2γ) = 90° – β – γ = α.  Отсюда следует подобие треугольников ALN и NLB. Значит,  AL : LN = LN : LB,  откуда
AL = ^LN²/_LB = ^a²/_b.

Ответ

^a²/_b.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1558