Задача 53798

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC точки P и Q лежат на стороне AC, а прямые BP и BQ делят медиану AM на три равные части. Известно, что  BP = BQ,  AB = 9,  BC = 11.  Найдите AC.

Решение

  Пусть F и H – точки пересечения медианы AM с отрезками BP и BQ соответственно. Поскольку  AH : HM = 2 : 1,  H – точка пересечения медиан треугольника ABC, то есть BQ – медиана.
  Проведём через точку H прямую, параллельную BP до пересечения со стороной AC в точке S. По теореме Фалеса  AP = PS = 2SQ.
  Пусть  AC = 20x,  тогда  AQ = 10x,  AP = 4x,  PQ = 6x.  Проведём высоту BG равнобедренного треугольника PQB. Тогда  AG = 7x,  CG = 13x.
  По теореме Пифагора  CG² – AG² = BC² – AB²,  то есть  120x² = 40.  Отсюда  x² = ¹/₃.

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1562