Задача 53799

Темы:    [ Проекции оснований, сторон или вершин трапеции ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренной трапеции ABCD  (AD || BC)  расстояние от вершины A до прямой CD равно боковой стороне. Найдите углы трапеции, если  AD : BC = 5.

Решение

  Пусть M – проекция вершины A на CD, K – проекция C на AD.  Обозначим  BC = x,  AD = 5x,  AM = CD = y.  Тогда  DK = ½ (AD – BC) = 2x.
  Из подобия треугольников CKD и AMD следует, что  CK : CD = AM : AD,  то есть     = ^y/_5x,   или    = ^y/_5x.
  Решив это уравнение относительно  (^x/_y)², получим  (^x/_y)² = ¹/₅  или  (^x/_y)² = ¹/₂₀.
  В первом случае  y = x,  cos∠CDA = ^KD/_CD = .
  Во втором –  cos∠CDA = ^KD/_CD = .

Ответ

arccos ,  π – arccos   или  arccos ,  π – arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1563