Задача 53831

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты AD и CE. Найдите AC, если  BC = a,  AB = b,  ^DE/_AC = k.

Подсказка

Треугольники EDB и CBA подобны. Рассмотрите два случая:  ∠B < 90°  и  ∠B > 90°.

Решение

  Обозначим  ∠B = β.  Если  β < 90°,  то треугольники EDB и CBA подобны с коэффициентом cos β, то есть  сos β = k.  По теореме косинусов
 AC² = BA² + BC² – 2BA·BC cos β = b² + a² – 2abk.
  Если  β > 90°,  то треугольники EDB и CBA подобны с коэффициентом  – cos β,  то есть  cos β = – k.  Тогда  AC² = a² + b² + 2abk.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1595