Задача 53835

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC высота BD равна 6, медиана CE равна 5, расстояние от точки K пересечения отрезков BD и CE до стороны AC равно 1.
Найдите сторону AB.

Подсказка

Продолжите медиану CE до пересечения с прямой, проходящей через вершину B параллельно AC, и рассмотрите образовавшиеся подобные треугольники.

Решение

  Пусть P – точка пересечения прямой CE с прямой, проведённой через вершину B параллельно AC. Из равенства треугольников PBE и CAE следует, что
BP = AC,  а из подобия треугольников PKB и CKD –  DC = ¹/₅ BP = ¹/₅ AC,  KC = ¹/₆ PC = ¹/₃ CE = ⁵/₃.
  Из прямоугольного треугольника KDC  DC² = KC² – DK² = ¹⁶/₃.  Поэтому  AD = 4DC = ¹⁶/₃.  Из прямоугольного треугольника ADB
AB² = AD² + BD² = (¹⁶/₃)² + 6² = ⁴/₉·145.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1600