Задача 53841

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренной трапеции ABCD  AB = CD = 3,  основание  AD = 7,  ∠BAD = 60°.  На диагонали BD расположена точка M так, что  BM : MD = 3 : 5.
Какую из сторон трапеции: BC или CD пересекает продолжение отрезка AM?

Подсказка

Пусть K – точка пересечения прямых AM и BC. Сравните BK и BC.

Решение

  Пусть P и Q – проекции вершин B и C на большее основание AD трапеции ABCD. Из прямоугольных треугольников APB и DQC находим, что  AP = DQ = ³/₂.  Следовательно,  BC = PQ = 4.
  Пусть K – точка пересечения прямых AM и BC. Из подобия треугольников BMK и DMA находим, что  BK = BM·^AD/_MD = ²¹/₅ = 4,2.
  Поскольку  BK > BC,  то продолжение отрезка AM пересекает сторону CD.

Ответ

CD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1606