Задача 53843

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD большее основание  AD = 19,  боковая сторона  AB = 13,  а другая боковая сторона  CD = 12  и перпендикулярна основаниям. Биссектриса острого угла BAD пересекает прямую DC в точке M. Определите, где лежит точка M: на отрезке DC или вне его?

Подсказка

Пусть K – точка пересечения биссектрисы угла BAD с прямой BC. Сравните BK и BC.

Решение

  Пусть P – проекция вершины B на основание AD трапеции ABCD. Из прямоугольного треугольника APB находим, что  AP² = AB² – BP² = AB² – CD² = 25.   Следовательно,  BC = PD = AD – AP = 19 – 5 = 14.
  Если K – точка пересечения биссектрисы угла BAD с прямой BC, то  ∠BKA = ∠DAK = ∠BAK,  а треугольник ABK – равнобедренный, поэтому
BK = AB = 13 < BC.  Следовательно,точка M лежит вне отрезка CD.

Ответ

Вне.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1608