Задача 53846

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC  ∠CAB = 75°,  ∠ABC = 45°.  На стороне CA берётся точка K, а на стороне CB – точка M,  CK : AK = 3 : 1.
Найдите   KM : AB,  если это отношение меньше ¾, а прямая MK отсекает от треугольника ABC треугольник, ему подобный.

Решение

  Заметим, что прямая KM не может быть параллельна AB, так как в этом случае  KB : AB = CK : AC = 3 : 4,  что противоречит условию. Следовательно,
∠CKM = ∠B = 45°,  ∠CMK = ∠CAB = 75°.
  Пусть  AK = 1.  Тогда  CK = 3,  AC = 4.  По теореме синусов  ^AC/_{sin 45°} = ^AB/_{sin 60°},  откуда     Аналогично из треугольника MKC находим, что     (sin 75° вычислен в задаче 61207).
  Следовательно,  ^KM/_AB  =  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1611