Задача 53848

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Подобные треугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC точка K на стороне AB и точка M на стороне AC расположены так, что  AK : KB = 3 : 2,  а  AM : NC = 4 : 5.
Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку K параллельно стороне BC, делит отрезок BM.

Подсказка

Проведите через вершину B прямую, параллельную AC.

Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Пусть F – точка пересечения указанной прямой со стороной AC, P – точка пересечения BM и KF. Проведём через вершину B прямую, параллельную AC.
Пусть T – точка пересечения этой прямой с прямой KF (см. рис.). Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что  FC = ²/₅ AC.

  Поскольку TBCF – параллелограмм, то  TB = FC = ²/₅ AC.  Из подобия треугольников TPB и FPM следует, что  

Ответ

18 : 7.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1613