Задача 53854

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD углы A и D прямые,  AB = 1,  CD = 4,  AD = 5.  На стороне AD взята точка M так, что  ∠CMD = 2∠BMA.
В каком отношении точка M делит сторону AD?

Решение

  Пусть  ∠BMA = α.  Тогда  ∠CMD = 2α,  AM = AB ctg α = ctg α,   MD = CD ctg 2α = 4 ctg 2α = 2(1 – tg²α) ctg α.
  Поскольку  AM + MD = AD, то  ctg α + 2(1 – tg²α) ctg α = 5,  или  2tg²α + 5 tg α – 3 = 0,  откуда  tg α = ½.  Значит,  AM = 2,  MD = 3.

Ответ

2 : 3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1619