Задача 53864

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Подобные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁ и C₁ таковы, что  AB₁ || BA₁,  AC₁ || CA₁  и  BC₁ || CB₁.
Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

Подсказка

Пусть D – точка пересечения прямых CA₁ и AB₁. Докажите, что треугольники A₁DB₁ и C₁AB₁ подобны.

Решение

Пусть D – точка пересечения прямых CA₁ и AB₁, E – точка пересечения прямых CB₁ и AC₁. Тогда  CA₁ : A₁D = CB : BA = EC₁ : C₁A.  Из подобия треугольников CB₁D и EB₁A следует, что  CD : AE = B₁D : AB₁.  Поэтому  A₁D : CA₁ = B₁D : AB₁,  а так как  ∠A₁DB₁ = ∠C₁AB₁,  то треугольники A₁DB₁ и C₁AB₁ подобны. Значит,  ∠A₁B₁D = ∠C₁B₁A.  Следовательно, точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1629