Задача 53870

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC из середины H основания BC опущен перпендикуляр HE на боковую сторону AC, O – середина отрезка HE.
Докажите, что прямые AO и BE перпендикулярны.

Подсказка

Медиана HK треугольника HEC соответствует медиане AO подобного ему треугольника AEH.

Решение

  Треугольники AEH и HEC подобны по двум углам. При этом подобии медиане AO треугольника AEH соответствует медиана HK треугольника HEC. Значит,
∠HAO = ∠CNK.  Поскольку  AH ⊥ CH,  то и  AO ⊥ HK.
  Но HK – средняя линия треугольника BCE, поэтому  HK || BE.  Следовательно,  AO ⊥ BE.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1635