ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53884
Темы:    [ Замечательное свойство трапеции ]
[ Четырехугольники (построения) ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске была начерчена трапеция, в ней была проведена средняя линия EF и опущен перпендикуляр OK из точки O пересечения диагоналей на большее основание. Затем трапецию стерли. Как восстановить чертеж по сохранившимся отрезкам EF и OK?


Решение

  Первый способ. Предположим, что нужная трапеция ABCD построена. Пусть точки E и F – середины её боковых сторон AB и CD, K – проекция точки O пересечения диагоналей AC и BD на основание AD. Если Q – точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, то прямая QO пересекает отрезки BC, EF и AD сооветственно в их серединах L, M и N. Рассмотрим случай, когда данные отрезки EF и OK пересекаются в некоторой точке G, причём  OG < KG.
  Пусть H – точка пересечения прямой OK с основанием BC. Тогда  QL : QN = BL : AN = BC : AD = BO : QD = OH : OK.
  Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку H, симметричную точке K относительно прямой EF; через точки K и H проводим прямые l и m, параллельные EF; находим точки L и N пересечения этих прямых с прямой MO, где M – середина отрезка EF; на продолжении отрезка NL за точку L откладываем такой отрезок LQ, что  LQ : QN = OH : OK.
  Пусть прямая QE пересекает прямые l и m соответственно в точках A и B, а прямая QF – в точках D и C. Тогда ABCD – искомая трапеция.
  Остальные случаи рассматриваются аналогично.

               
  Второй способ. Проведём через точку K прямую l, параллельную данному отрезку EF. Найдём точку N пересечения прямой l с прямой, проходящей через данную точку O и середину M отрезка EF. Построим параллелограмм ENFP. Проведём через P прямую m, параллельную l. Затем проведём через точку O прямые, параллельные сторонам параллелограмма ENFP. Точки, в которых эти прямые пересекают прямые l и m, являются вершинами искомой трапеции.

Замечания

Исследование см. в Решениях задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1649
журнал
Название "Квант"
год
Год 1971
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М95

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .