Задача 53899

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точки A₁, B₁, C₁ лежат соответственно на сторонах BC, AC, AB треугольника ABC, причём отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке K.
Докажите, что     и  

Подсказка

Примените метод площадей.

Решение

  Поскольку высоты треугольников BKC и ABC, опущенные на общее основание BC, относятся, как  KA₁ : AA₁,  то  S_BKC : S_ABC = KA₁ : AA₁.  Аналогично
S_AKC : S_ABC = KB₁ : BB₁,  S_AKB : S_ABC = KC₁ : CC₁.  Поэтому  
  Поскольку     то  

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1664