Задача 53907

Темы:    [ Удвоение медианы ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, вдвое меньше другой биссектрисы. Найдите углы треугольника.

Решение

  Пусть A – вершина равнобедренного треугольника ABC, а его биссектриса AM вдвое меньше биссектрисы BD. На продолжении биссектрисы AM за точку M отложим отрезок MK, равный AM. Тогда  BK || AD  и  AK = BD.  Значит, ADKB – равнобедренная трапеция. Если P – точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то  BP = KP.  Обозначим  ∠ABP = α.  Тогда  ∠PKB = ∠PBK = 3α,  ∠BAK = 90° – 2α,  ∠BPK = ∠ABP + ∠BAK,  или
180° – 6α = α + (90° – 2α).
  Отсюда  α = 18°.  Следовательно,  ∠B = 36°.

Ответ

36°, 36°, 108°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1672