Задача 53935

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Продолжения равных хорд AB и CD окружности соответственно за точки B и C пересекаются в точке P.
Докажите, что треугольники APD и BPC равнобедренные.

Подсказка

Перпендикуляры OM и ON, опущенные из центра O окружности на равные хорды AB и CD, равны и делят эти хорды пополам.

Решение

Перпендикуляры OM и ON, опущенные из центра O окружности на равные хорды соответственно AB и CD, равны и делят эти хорды пополам, поэтому прямоугольные треугольники POM и PON равны по катету и гипотенузе, значит,  PM = PN.  Следовательно,
PA = PM + MA = PM + ½ AB = PN + ½ CD = PN + ND = PD,  PB = PA – AB = PD – CD = PC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1699