ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53937
Темы:    [ Диаметр, основные свойства ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
Сложность: 2
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите внутри треугольника ABC все такие точки P, чтобы общие хорды каждой пары окружностей, построенных на отрезках PA, PB и PC как на диаметрах, были равны.


Подсказка

Докажите, что окружности с диаметрами AP и BP пересекаются на стороне AB.


Решение

  Пусть C1 – отличная от A точка пересечения со стороной AB окружности, построенной на отрезке AP как на диаметре. Поскольку точка C1 лежит на окружности с диаметром AP, то  ∠AC1P = 90°.  Значит, эта точка лежит и на окружности с диаметром BP.
  Аналогично окружности с диаметрами AP и CP пересекаются на стороне AC (в точке B1), а окружности с диаметрами CP и BP – на стороне BC (в точке A1).
  По условию  PA1 = PB1 = PC1,  поэтому точка P равноудалена от всех сторон треугольника ABC. Следовательно, P – точка пересечения биссектрис этого треугольника.


Ответ

Точка пересечения биссектрис треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1701

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .