Задача 53947

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Постройте окружность, на которой стороны данного треугольника высекают три одинаковые хорды, равные заданному отрезку.

Подсказка

Центр искомой окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

Решение

  Предположим, что искомая окружность построена. Опустим из её центра O перпендикуляры OA₁, OB₁ и OC₁ на стороны соответственно BC, AC и AB данного треугольника ABC. Равнобедренные треугольники с общей вершиной O, основаниями которых являются отрезки, высекаемые окружностью на сторонах треугольника, равны по трём сторонам. Точки A₁, B₁ и C₁ – середины оснований этих треугольников. Поскольку отрезки OA₁, OB₁ и OC₁ равны, O – центр вписанной окружности треугольника ABC.
  Построим прямоугольный треугольник, один катет которого равен половине данного отрезка, второй – радиусу вписанной окружности. Гипотенуза построенного прямоугольного треугольника равна радиусу искомой окружности.

Замечания

Задача имеет решение, если построенная гипотенуза меньше наименьшего из расстояний от точки пересечения биссектрис данного треугольника до его вершины.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1711