Задача 53962

Темы:    [ Признаки и свойства касательной ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Расстояние от точки M до центра O окружности равно диаметру этой окружности. Через точку M проведены две прямые, касающиеся окружности в точках A и B. Найдите углы треугольника AOB.

Подсказка

В прямоугольном треугольнике OAM катет OA вдвое меньше гипотенузы OM, поэтому  ∠AMO = 30°.

Решение

  В прямоугольном треугольнике OAM катет OA вдвое меньше гипотенузы OM, поэтому  ∠AMO = 30°,  а  ∠AOM = 60°.  Из равенства прямоугольных треугольников OAM и OBM следует, что  ∠BOM = ∠AOM = 60°.
  Значит,  ∠AOB = ∠BOM + ∠AOM = 120°,  а так как треугольник AOB – равнобедренный, то  ∠BAO = ∠ABO = 30°.

Ответ

30°, 30°, 120°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1726