Задача 53965

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей.
Докажите, что отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом.

Подсказка

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.

Решение

Обозначим через A и B точки пересечения прямой c с параллельными прямыми a и b соответственно. Пусть окружность с центром O касается прямых a и b соответственно в точках M и N. Тогда AO – биссектриса угла BAM, а BO – биссектриса угла ABN. Поскольку  ∠BAM + ∠ABN = 180°,  то
∠BAO + ∠ABO = ½ ∠BAM + ½ ∠ABN = ½ (∠BAM + ∠ABN) = 90°.  Следовательно,  ∠AOB = 180° – (∠BAO + ∠ABO) = 90°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1729