Информация о задаче

Задача 53966

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка D лежит на стороне BC треугольника ABC. В треугольник ABD и ACD вписаны окружности с центрами O₁ и O₂. Докажите, что треугольник O₁DO₂ — прямоугольный.

Подсказка

Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

Решение

Поскольку окружности вписаны в углы ADB и ADC, то их центры лежат на биссектрисах этих углов. Поэтому

$\displaystyle \angle$ O₁DO₂ = $\displaystyle \angle$ O₁DA + $\displaystyle \angle$ ADO₂ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ ADB + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ ADC =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \angle$ ADB + $\displaystyle \angle$ ADC) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.180^o = 90^o

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1730