|
|
 |
Условие
а) Прямая касается окружности в точке M, то есть имеет с прямой
единственную общую точку M.
Докажите, что радиус окружности, проведённый в точку M, перпендикулярен этой прямой.
б) Докажите, что прямая, проходящая через некоторую точку окружности и перпендикулярная радиусу, проведённому в эту точку, является касательной к окружности, то есть имеет с окружностью единственную общую точку.
Решение
а) Пусть M – единственная общая точка прямой и окружности с центром O. Предположим, что радиус OM не перпендикулярен этой прямой. Опустим перпендикуляр OH из центра окружности на прямую. На продолжении отрезка MH за точку H отложим отрезок HN, равный MH. Тогда треугольник OMN – равнобедренный, так как его высота OH является медианой. Следовательно, ON = OM, то есть точка N также лежит на окружности и при этом отлична от M, а это противоречит тому, что M – единственная общая точка прямой и окружности.
б) Пусть точка M лежит на окружности, а прямая AM перпендикулярна радиусу OM. Тогда все остальные точки прямой AM находятся от центра O дальше чем точка M (так как перпендикуляр короче наклонной) и, следовательно, лежат вне окружности.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1735 |
