Задача 53974

Темы:    [ Метод ГМТ ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку касательную к данной окружности.

Подсказка

Если точка A лежит вне окружности с центром O, то отрезок OA виден из искомой точки касания под прямым углом.

Решение

Пусть данная точка A лежит на окружности с центром O. Через точку A проведём прямую, перпендикулярную прямой OA. Проведённая прямая является касательной к данной окружности.

Пусть точка A лежит вне окружности. Построим окружность на отрезке AO как на диаметре. Пусть она пересекает данную окружность в точках B и C. Докажем, что прямые AB и AC — искомые касательные.

В самом деле, поскольку точка B лежит на окружности с диаметром AO, то ABO = 90^o. Значит, прямая AB проходит через точку B, лежащую на окружности с центром O, и перпендикулярна радиусу OB этой окружности, проведённому в точку B. Следовательно, прямая AB — касательная к окружности с центром O. Аналогично для прямой AC.

Если точка A лежит внутри окружности, задача не имеет решения.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1738