Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AB=CD$). На описанной около неё окружности выбирается точка $P$ так, что отрезок $CP$ пересекает основание $AD$ в точке $Q$. Пусть $L$ – середина $QD$. Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой $PL$.

   Решение

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник, если известны отрезки, на которые вписанная окружность делит его сторону, и радиус вписанной окружности.

Подсказка

Центр вписанной окружности треугольника лежит на перпендикуляре к стороне треугольника, проведённом через точку касания.

Решение

Предположим, что искомый треугольник ABC построен. Пусть O — центр вписанной в него окружности, M — точка касания со стороной BC. Поскольку радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, точка O лежит на перпендикуляре к BC, проведённом через точку M. Отсюда вытекает следующее построение.

Проведём произвольную прямую. Возьмём на ней произвольную точку M. По разные стороны от этой точки отложим отрезки MB и MC, равные данным. Через точку M проведём прямую, перпендикулярную BC. На ней отложим отрезок MO, равный данному радиусу, и построим окружность с центром O и радиусом OM. Через точки B и C проведём касательные к этим окружностям. Они пересекутся в вершине A искомого треугольника.

Если хотя бы один из данных отрезков больше данного радиуса, задача имеет единственное решение. В остальных случаях решений нет.

Источники и прецеденты использования