|
|
 |
Условие
Две прямые, проходящие через точку M, лежащую вне окружности с центром O, касаются окружности в точках A и B. Отрезок OM делится окружностью пополам. В каком отношении отрезок OM делится прямой AB?
Подсказка
В прямоугольном треугольнике AMO катет OA равен половине гипотенузы OM. Если K – середина OM, то треугольник AOK – равносторонний.
Решение
Биссектриса равнобедренного треугольника AMB, проведённая из вершины M, является высотой. Поэтому AB ⊥ MO. Пусть окружность пересекает отрезок OM в точке K. В прямоугольном треугольнике AMO катет OA равен половине гипотенузы MO, значит, ∠AMO = 30°, а ∠AOM = 60°. Поскольку угол между равными сторонами OA и OK равнобедренного треугольника AOK равен 60°, то треугольник – равносторонний. Его высота AP является медианой, поэтому OP = KP = ½ OK = ¼ OM. Следовательно, OP : MP = 1 : 3.
Ответ
1 : 3, считая от точки O.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1741 |
