Задача 53978

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка D – середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Окружность, вписанная в треугольник ACD, касается отрезка CD в его середине. Найдите острые углы треугольника ABC.

Подсказка

Треугольник ADC – равносторонний.

Решение

  Пусть указанная окружность касается отрезка CD в его середине M, а отрезков AD и AC – в точках N и K соответственно. Поскольку медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то  AD = CD.  По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки,   AC = AK + CK = AK + CM = AN + DN = AD.

  Поэтому треугольник ACD – равносторонний. Следовательно,  ∠A = ∠DAC = 60°.

Ответ

30°, 60°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1742