Информация о задаче

Задача 53979

Темы:	[	Метод ГМТ	]
Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте хорду данной окружности, равную и параллельную заданному отрезку.

Подсказка

а) Геометрическое место середин хорд окружности, равных данному отрезку, меньшему диаметра данной окружности, — окружность, концентрическая данной.

б) Рассмотрите параллельный перенос данной окружности на вектор $\overrightarrow{NM}$ , где MN — данный отрезок.

Решение

Первый способ.

Докажем сначала, что геометрическое место середин хорд окружности, равных данному отрезку, меньшему диаметра, — окружность, концентрическая данной.

Пусть a — данный отрезок, R — радиус данной окружности с центром O. Построим прямоугольный треугольник по гипотенузе (радиус данной окружности R) и катету (половина данного отрезка a). Радиусом, равным второму катету построенного прямоугольного треугольника, проведём окружность, концентрическую данной. Через произвольную точку M построенной окружности проведём к ней касательную. Пусть A и B — точки её пересечения с данной окружностью. Тогда OM $\perp$ AB, поэтому M — середина AB, а т.к. хорды, равноудаленные от центра окружности, равны, то AB = a.

Обратно, пусть M — середина хорды AB данной окружности и AB = a. Тогда OM — катет прямоугольного треугольника OMA, в котором OA = R и AM = ${\frac{1}{2}}$ a. Следовательно, точка M лежит на построенной окружности.

Отсюда вытекает следующее построение. Строим произвольную хорду данной окружности с центром O, равную данному отрезку. Радиусом, равным расстоянию от центра данной окружности до этой хорды, проводим окружность с центром O. Через точку O проводим прямую, перпендикулярную данному отрезку. Через точки пересечения этой прямой с построенной окружностью, проводим прямые, параллельные данному отрезку.

Если данный отрезок меньше диаметра окружности, то задача имеет два решения. Если данный отрезок равен диаметру окружности, то задача имеет единственное решение. Если данный отрезок больше диаметра окружности, то задача не имеет решений.

Второй способ.

Предположим, что искомая хорда AB построена. Пусть MN — данный отрезок. Тогда при параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{MN}$ (или $\overrightarrow{NM}$ ) точка A перейдёт в точку B, а данная окружность S — в окружность S₁, проходящую через точку B.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ S₁ данной окружности при параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{MN}$ (или $\overrightarrow{NM}$ ). Точки пересечения окружностей S и S₁ — концы искомых хорд.

Если окружности S₁ и S не пересекаются, то задача не имеет решений.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1743