Задача 53986

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке M и продолжений двух других сторон. Докажите, что прямая AM делит периметр треугольника пополам.

Подсказка

Примените теорему о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки.

Решение

Пусть окружность касается прямых AB и AC в точках P и Q соответственно. По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки,

BM = BP, CM = CQ, AP = AQ,

поэтому

AB + BM = AB + BP = AP, AC + CM = AC + CQ = AQ.

Следовательно, AB + BM = AC + CM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1750