Задача 53988

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, BC и AC соответственно в точках K, M и N. Найдите угол KMN, если  ∠A = 70°.

Подсказка

Треугольники MBK и MCN – равнобедренные.

Решение

Обозначим углы треугольника при вершинах A, B и C соответственно α, β и γ. Поскольку  BM = BK  и  CM = CN,  то треугольники MBK и MCN – равнобедренные. Поэтому  ∠BMK = 90° – ^β/₂,  ∠CMN = 90° – ^γ/₂.  Следовательно,
∠KMN = 360° – ∠BMK – MCN = 180° – (90° – ^β/₂) – (90° – ^γ/₂) = ½ (β + γ) = 90° – ^α/₂ = 55°.

Ответ

55°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1752