Задача 53990

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

CD - медиана треугольника ABC. Окружности вписанные в треугольники ACD и BCD касаются отрезка CD в точках M и N. Найдите MN, если AC - BC = 2.

Подсказка

Если окружность, вписанная в треугольник PQR, касается стороны PQ в точке S, то PS = 1/2(PQ + PR - RQ).

Решение

Поскольку AD = DB, а

CM = 1/2(AC + CD - AD)иCN = 1/2(BC + CD - BD),

то

MN = | CM - CN| = | 1/2(AC + CD - AD) - 1/2(BC + CD - BD)| =

= 1/2| AC - BC| = 1/2 ^. 2 = 1

Ответ

1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1754