Информация о задаче

Задача 53991

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка D, причём BD - AD = 4. Найдите расстояние между точками, в которых окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD, касаются отрезка CD.

Подсказка

Если окружность, вписанная в треугольник PQR, касается стороны PQ в точке S, то PS = ${\frac{PQ + PR - RQ}{2}}$ .

Решение

Пусть окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD, касаются отрезка CD в точках M и N соответственно. Поскольку AC = BC, а

CM = $\displaystyle {\frac{AC + CD - AD}{2}}$ , CN = $\displaystyle {\frac{BC + CD - BD}{2}}$ ,

то

MN = | CM - CN| = $\displaystyle \left\vert\vphantom{\frac{AC + CD - AD}{2} - \frac{BC + CD - BD}{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{AC + CD - AD}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{BC + CD - BD}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{AC + CD - AD}{2} - \frac{BC + CD - BD}{2}}\right\vert$ =

= $\displaystyle {\frac{\vert BD - AD\vert}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{2}}$ = 2.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1755