Задача 53993

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Прямая, проходящая через центры двух окружностей называется их линией центров.
Докажите, что общие внешние (внутренние) касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров этих окружностей.

Подсказка

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Решение

  Пусть общие внешние касательные к двум окружностям разного радиуса пересекаются в точке M. Поскольку эти окружности вписаны в угол с вершиной M, то их центры лежат на биссектрисе этого угла, а так как через две различные точки (в данном случае – центры окружностей) проходит только одна прямая, то линия центров лежит на указанной биссектрисе.
  Аналогично доказывается утверждение для общих внутренних касательных (в этом случае радиусы окружностей могут быть равными).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1757