Задача 54024

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырёхугольника. Где нужно вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до четырёх домов была наименьшей?

Подсказка

Предположите, что искомая точка не лежит на одной из диагоналей и воспользуйтесь неравенством треугольника.

Решение

Пусть дома расположены в вершинах выпуклого четырёхугольника ABCD, диагонали AC и BD которого пересекаются в точке O. Предположим, что колодец находится в некоторой точке M, отличной от M. Тогда

AM + CM AC, BM + DM BD,

причём хотя бы одно из этих неравенств строгое. Тогда

AM + CM + BM + DM > AC + BD = AO + CO + BO + DO,

т.е. сумма расстояний до вершин четырёхугольника ABCD от точки O меньше, чем от любой другой точки.

Ответ

В точке пересечения диагоналей четырёхугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1787