ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54024
Темы:    [ Неравенство треугольника ]
[ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырёхугольника. Где нужно вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до четырёх домов была наименьшей?


Подсказка

Предположите, что искомая точка не лежит на одной из диагоналей и воспользуйтесь неравенством треугольника.


Решение

Пусть дома расположены в вершинах выпуклого четырёхугольника ABCD, диагонали AC и BD которого пересекаются в точке O. Предположим, что колодец находится в некоторой точке M, отличной от M. Тогда

AM + CM $\displaystyle \geqslant$ ACBM + DM $\displaystyle \geqslant$ BD,

причём хотя бы одно из этих неравенств строгое. Тогда

AM + CM + BM + DM > AC + BD = AO + CO + BO + DO,

т.е. сумма расстояний до вершин четырёхугольника ABCD от точки O меньше, чем от любой другой точки.


Ответ

В точке пересечения диагоналей четырёхугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1787

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .