Задача 54027

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Две окружности радиусов r и R (r < R) пересекаются. Докажите, что расстояние между их центрами меньше, чем r + R, но больше, чем R - r.

Подсказка

Воспользуйтесь неравенством треугольника.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r и R соответственно, A — одна из двух точек их пересечения. Для треугольника O₁AO₂ верны неравенства

O₁O₂ < O₁A + O₂A, AO₂ < O₁A + O₁O₂,

или

O₁O₂ < r + R, O₁O₂ > AO₂ - AO₁ = R - r.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1790