Задача 54036

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точки D и E — середины сторон соответственно AB и BC треугольника ABC. Точка M лежит на стороне AC, причём ME > EC. Докажите, что MD < AD.

Подсказка

Для того, чтобы угол P треугольника PQR был острым, необходимо и достаточно, чтобы медиана, проведённая из вершины P, была больше половины стороны QR.

Решение

Поскольку ME — медиана треугольника BMC и ME > EC = BC, то угол BMC — острый. Значит, угол AMB — тупой, следовательно, MD < AB = AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1799