Условие
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $20^{\circ}$. Докажите, что боковая сторона больше удвоенного основания, но меньше утроенного.
Решение
На боковой стороне $AC$ данного равнобедренного треугольника $ABC$
отложим отрезок $CD$, равный основанию $BC$. Тогда
$$\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 80^{\circ} - 50^{\circ} =30^{\circ},$$
значит, в треугольнике $ABD$ угол $ABD$ больше угла $BAD$, поэтому $AD > BD > BC$ (в равнобедренном треугольнике $BDC$ основание $BD$ лежит против большего угла $C$). Следовательно,
$$AC = AD + CD > BC + CD = 2BC.$$
Пусть точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно прямой $AC$, а точка $B_2$ симметрична $C$ относительно $AB_1$. Тогда
$$\angle BAB_2 = 3 \angle BAC = 60^{\circ}, \quad AB_2 = AB,$$
поэтому треугольник $BAB_2$ — равносторонний. Следовательно,
$$AB = BB_2 < BC + CB_1 + B_1B_2 = 3 BC.$$
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
1801 |
