Задача 54044

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Найдите углы равнобедренного треугольника, если известно, что угол между биссектрисой, проведённой из его вершины, и биссектрисой, проведённой к боковой стороне, равен углу при вершине.

Решение

  Пусть угол при основании BC равнобедренного треугольника ABC равен α, а биссектрисы AD и CE пересекаются в точке M. Тогда  ∠A = 180° – 2α.
  Рассмотрим случай, когда  ∠AMC = ∠A.  Поскольку  ∠AMC = 90° + ½ ∠B,  то  90° + ^α/₂ = 180° – 2α,  откуда  α = 36°.
  Если же  ∠AME = ∠A, то  90° – ^α/₂ = 180° – 2α,  откуда  α = 60°.
  В первом случае углы треугольника ABC равны 108°, 36°, 36°. Во втором случае треугольник ABC – равносторонний.

Ответ

36°, 36°, 108° или 60°, 60°, 60°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1807