Задача 54046

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан равнобедренный треугольник ABC с вершиной A. Длина прыжка кузнечика равна основанию BC. Известно, что начиная движение из точки C, кузнечик за 22 прыжка оказался в точке A, приземляясь после каждого прыжка на боковой стороне треугольника ABC и чередуя стороны при каждом прыжке, кроме последнего. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что с каждым прыжком кузнечик приближался к точке A.

Решение

Обозначим через A₀, A₁, A₂, ..., A₂₂ точки, в которых побывал кузнечик  (A₀ – это точка C, A₂₂ – точка A). Перед последним прыжком кузнечик оказался в точке A₂₁ стороны AB. Если  ∠BAC = α,  то  ∠A₂₀A₂₁B = 2α  как внешний угол равнобедренного треугольника AA₂₁A₂₀, а так как  ∠A₂₀A₁₉A₂₁ = ∠A₂₀A₂₁B = 2α,  то
∠A₁₉A₂₀C = 3α.  Рассуждая аналогично, найдём, что  ∠ACB = ∠ABC = ∠BA₁C = 22α.  Поэтому  22α + 22α + α = 180°,   откуда  α = 180° : 45 = 4°.

Ответ

4°, 88°, 88°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1809