Задача 54048

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Хорда окружности пересекает некоторый диаметр под углом 45° и делится им на отрезки, равные a и b.
Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра окружности на данную хорду.

Решение

  Пусть AB – диаметр окружности с центром O, CD – хорда, пересекающая диаметр AB в точке M,  ∠AMD = 45°,  DM = a,  CM = b.  Предположим, что  a > b.
  Опустим перпендикуляр OP из центра окружности на хорду CD. P – середина CD. В равнобедренном прямоугольном треугольнике OPM катет
PM = DM – DP = ½ (a – b).  Следовательно,  OP = PM = ½ (a – b).

Ответ

½ |a – b|.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1811