Задача 54054

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Одна вершина правильного треугольника лежит на окружности, а две другие делят некоторую хорду на три равные части.
Под каким углом видна хорда из центра окружности?

Подсказка

Пусть вершина M данного правильного треугольника лежит на окружности центром O, а остальные вершины на хорде AB.
Докажите, что треугольник AMO – равносторонний.

Решение

Пусть вершина M правильного треугольника KLM лежит на окружности, а вершины K и L на хорде AB, причём   AK = KL = LB.  Поскольку AKM и BLM – равные равнобедренные треугольники, точка M равноудалена от концов отрезка AB, поэтому MO – серединный перпендикуляр к AB. Значит, MO – биссектриса угла AMB, равного 120°, то есть  ∠AMO = 60°,  а треугольник AMO – равносторонний. Следовательно,  ∠AOB = 2∠AOM = 120°.

Ответ

120°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1817