ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54055
Темы:    [ Признаки и свойства касательной ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в 30╟ ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей. Отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми делится точкой касания в отношении 1 : 3. Под каким углом секущая пересекает каждую из параллельных прямых ?


Подсказка

Отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом.


Решение

Пусть прямая l пересекает данные параллельные прямые a и b соответственно в точках A и B, а окружность с центром O касается прямых a, b и l соответственно в точках C, D и M. Поскольку OA и OB — биссектрисы углов CAB и ABD, а сумма этих углов равна 180o, то $ \angle$AOB = 90o.

Проведём медиану OK прямоугольного треугольника AOB. Обозначим AM = x. Тогда

BM = 3xOK = AK = BK = 2xKM = AK - AM = 2x - x = x = AM.

Поэтому высота OM треугольника AOK является его медианой. Значит, AO = OK = AK, т.е. треугольник AOK — равносторонний. Следовательно,

$\displaystyle \angle$BAO = 60o$\displaystyle \angle$BAC = 2$\displaystyle \angle$BAO = 120o.


Ответ

60o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1818

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .