|
|
 |
Условие
Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей. Отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми делится точкой касания в отношении 1 : 3. Под каким углом секущая пересекает каждую из параллельных прямых?
Подсказка
Отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом.
Решение
Пусть прямая l пересекает данные параллельные прямые a и b соответственно в точках A и B, а окружность с центром O касается прямых a, b и l соответственно в точках C, D и M. Поскольку OA и OB — биссектрисы углов CAB и ABD, а сумма этих углов равна 180°, то ∠AOB = 90°.
Проведём медиану OK прямоугольного треугольника AOB. Тогда BM = 3AM, OK = AK = BK = 2AM, KM = AK – AM = AM. Поэтому высота OM треугольника AOK является его медианой. Значит, AO = OK = AK, то есть треугольник AOK равносторонний. Следовательно, ∠BAO = 60°, ∠BAC = 2∠BAO = 120°.
Ответ
60°.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1818 |
