Задача 54063

Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На стороне BC равностороннего треугольника ABC взята точка M, а на продолжении стороны AC за точку C – точка N, причём  AM = MN.
Докажите, что  BM = CN.

Подсказка

Через точку M проведите прямую, параллельную AC.

Решение

Обозначим  ∠CAM = α.  Через точку M проведём прямую, параллельную AC. Пусть она пересекает сторону AB в точке K. Тогда
∠AMK = ∠MAN = ∠MNC = α,  ∠CMN = ∠ACM – ∠MNC = 60° – α = ∠MAK,  поэтому треугольники MCN и AKM равны по стороне  (MN = AM)  и двум прилежащим к ней углам. Следовательно,  CN = MK = BM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1826